— Published on 09/07/2020 / Ideje.hr.
Ovih je dana matematika aktualna jer maturanti upravo polažu ispit državne mature iz tog predmeta. Pitam se koliko njih uopće može zauzdati svoju rasutu pažnju i zadržati koncentraciju puna tri sata. I koliko je onih kojima škola nije razvila averziju prema matematici. Malo, bojim se. Što je šteta, jer matematika je zapravo divna.
Pogledao sam nedavno kratku BBC-jevu seriju Magic numbers u kojoj tajanstveni svijet matematike razotkriva matematičarka Hannah Fry. Mnoštvo fascinantnih matematičkih ideja prikazano je u samo tri epizode ([1], [2] i [3]) nabijene entuzijazmom. Središnje pitanje cijele serije moglo bi se ovako sročiti: je li matematika otkrivena ili stvorena? Naime, postoji li matematika neovisno od nas pa smo ju, poput zakona fizike, naprosto otkrili. Ili je matematika samo proizvod ljudskoga uma, jedan sofisticirani sustav ideja koji smo s vremenom izgradili. Postoje dobri argumenti i za jednu i za drugu tezu. Među matematičarima nema konsenzusa po tom pitanju, neki zagovaraju jednu, neki drugu stranu. Teorijski fizičar Brian Greene, jedan od sugovornika Hanne Fry u seriji Magic numbers, simpatično priznaje da ne zna odgovor na to pitanje. Razumno zvuči kompromisni stav prema kojem je dio matematike otkriven (dakle, postojao je i prije ljudi kao dio strukture svemira), a dio su sami matematičari stvorili.
Uz pitanje porijekla matematike vezano je i pitanje odnosa matematike i fizike. Tvrdnja da je svemir jedna veličanstvena knjiga napisana jezikom matematike obično se pripisuje Galileiju. Bez obzira je li to prvi rekao Galilei ili netko drugi, točno je da fizičke fenomene izražavamo matematičkim modelima. U tom smislu matematika jest jezik prirode. No, obrat nije nužno istinit. Nije svaka matematika odraz neke fizičke stvarnosti. Matematičkom terminologijom: ako je D (kao domena) skup fizičkih pojava, a K (kao kodomena) skup matematičkih postupaka i f (kao funkcija) pridruživanje fizičkih pojava matematičkim postupcima, onda ta funkcija nije ni injekcija ni surjekcija pa stoga ni bijekcija. Funkcija je injekcija ako različitim elementima domene pridružuje različite elemente kodomene. Naša funkcija f nekim različitim elementima domene pridružuje isti element kodomene. Primjerice: uteg na opruzi, kuglica na niti (koja njiše s malim otklonom), pulsirajuća zvijezda i mnogi drugi fenomeni mogu biti opisani istom matematičkom jednadžbom, koju nazivamo jednadžbom harmonijskog oscilatora. Pod opisom, naravno, mislim na vrlo konkretno svojstvo fenomena, u ovom slučaju na otklon od ravnotežnog položaja. Nadalje, funkcija je surjekcija ako je svakom elementu kodomene pridružen barem jedan element domene. Naša funkcija f ima mnoge elemente kodomene kojima nije pridružen ni jedan element domene. Postoje matematički postupci (jednadžbe, objekti, čitave matematičke grane) koje ne opisuju nikakve fizičke fenomene. Mogli bismo i ovako reći, možda opisuju neke moguće svjetove, ali ne nužno svijet u kojem mi živimo.
To što je fizika umijeće aproksimacija, a matematika egzaktna disciplina nije glavna razlika između matematike i fizike. Glavna razlika je gore opisana činjenica da je fizika strogo ograničena na naš fizički svijet, na prirodu, na svemir u kojem živimo. Ideje koje fizičari razvijaju imaju za cilj opisati baš taj fizički svijet. Odgovaraju li ideje tom svijetu, fizičari provjeravaju eksperimentom. Ako eksperiment pokaže da ne odgovaraju, dužni su ih odbaciti. Matematičari, s druge strane, svoje ideje ne provjeravaju eksperimentom. Oni koriste samo apstrakciju i logiku. Stvaraju svoje svjetove u kojima pronalaze neke pravilnosti koje pak omogućuju osporavanje ili dokazivanje nekih tvrdnji. Matematika radi na svoj način, ne onom znanstvenom metodom na kojoj počivaju prirodne znanosti. Zato matematika nije prirodna znanost. Matematika je matematika, disciplina za sebe.
BBC-jeva serija Magic numbers poslužila mi je samo kao povod za ovaj tekst o matematici. Zapravo me podsjetila na pet sjajnih knjiga koje imaju isti cilj kao i serija: poticanje entuzijazma za matematiku. Sve osim jedne imaju domaće autore. Sve osim jedne nisu biografije. Sve osim jedne nisu udžbenici. Sve osim jedne ne premašuju 1000 stranica pa nisu morale biti tiskane u dva sveska. Sve su ih, bez izuzetka, napisali matematičari. A barem jedna će, nadam se, privući vašu pažnju dovoljno da za njom i posegnete.
.
Doživljaj matematike, Davis & Hersh & Marchisotto, Golden marketing-Tehnička knjiga, Zagreb 2004.
Nedavno mi je jedan moj poznanik, inače glumac, rekao da je tek sad, u srednjim godinama, saznao da matematika nije samo računanje. Opravdano se pitao zašto to nama nitko u školi nije rekao. Dobro pitanje. Ako nas je već zadesio nastavnik koji nije mogao ili nije htio ništa nadahnuto reći o svojem predmetu, nego nas je jedino znao iz vedra neba zasuti sa zadacima kojima sami nismo vidjeli smisla, zašto nas onda netko nije barem uputio na matematičku lektiru. Doživljaj matematike bio bi izvrstan izbor. Autori te knjige nisu željeli napisati ni pregled matematike, ni povijest matematike. Željeli su naprosto govoriti o tome što nam matematika znači, ponuditi nam odgovore na ona pitanja za koja naši nastavnici nisu imali vremena ili ih nisu smatrali važnima: Što je to matematika? Kako nastaje? Čemu služi? Zašto je bitna? Je li nepromjenjiva?
Američki matematičari Philip Davis, Reuben Hersh i Elena Anne Marchisotto (koja se priključila Davisu i Hershu kao koautorica proširenog izdanja knjige) odlučili su o tim temama govoriti na novi način. Umjesto uobičajenih filozofskih pristupa matematici, primjerice platonizma i formalizma, ponudili su drukčiji pristup kasnije nazvan humanističkom filozofijom matematike. Laiku su pokušali objasniti što to profesionalni matematičar radi, da se njegov posao ne svodi na golo pisanje dokaza nego je, naprotiv, pun nagađanja, želja i frustracija. Za opis knjige Doživljaj matematike u samo tri riječi mogao bih parafrazirati naslov kapitalnog djela William Jamesa Raznolikost religioznog iskustva, dakle: raznolikost matematičkog iskustva.
.
Matematika naša svagdašnja 1. dio & 2. dio, Davor Klobučar, Element, Zagreb, 2014.
To je ona, već spomenuta, knjiga o matematici koja je u drugom izdanju premašila 1000 stranica pa je morala biti tiskana u dva sveska. No kad sve to pročitate bude vam žao što je kraj, što nema još. Knjiga se sastoji od mnoštva crtica, kratkih priča o raznim matematičkim temama koje su poučne, ali pisane zanimljivo i duhovito. Prvi svezak obuhvaća: brojeve, geometriju, algebru, skupove, kombinatoriku i grafove, a drugi svezak: analizu, vjerojatnost, varke, mjerenje, novac, razno, svemir i mozgalice.
Premda taj sadržaj završava s mozgalicama, daleko od toga da se knjiga sastoji samo od zagonetki i pitalica (poput: kokoš i pol snese jaje i pol za dan i pol, koliko jaja snese pet kokoši za tri dana). Kroz živopisne primjere čitatelj može naći objašnjenja za gotovo svaku temu čije se poznavanje očekuje od, recimo, maturanata na državnoj maturi. Mene osobno to raduje jer su u moje doba udžbenici iz matematike bili jako formalni i ozbiljni. Nastavnici se na njih nisu ni pozivali, a učenici su bili sretni da ih ne moraju koristiti. Znam da je danas situacija s matematičkim udžbenicima neusporedivo bolja, no ipak me veseli vidjeti da postoje knjige čije poglavlje o analizi počinje s cjelinom "Derivacije za početnike (o pojmu derivacije na relativno neformalan način)". Kasnije se znanje, po potrebi, može proširiti sa strogim i sustavnim formalizmom. Bitno je da na početku učenik predmet zavoli, da razvije znatiželju, a ne odbojnost. Ta je strategija do boli trivijalna, no za školsku praksu svejedno neprovediva. Možda je stvar u tome što autori poput Davora Klobučara nisu sputani kurikulumom, odlukama ministarstva, ravnateljima i savjetnicima nego pišu slobodno, iz čiste ljubavi prema matematici. Možda zato s takvom lakoćom šire zarazu matematičkog oduševljenja.
.
Matematika i zdrav razum, Željko Pauše, Školska knjiga, Zagreb, 2007.
Prema svojem podnaslovu, Kako svatko o nas može otkriti ljepotu i jednostavnost matematike, ova knjiga u potpunosti dijeli cilj serije Magic numbers: pokazati zainteresiranom laiku što je moderna matematika kako bi prema njoj mogao razviti pozitivan stav, čak bih rekao divljenje. Već na preklopu ovitka knjige može se naći tekst: "...autor želi uvjeriti čitatelja da je matematika mnogo više od pukog računanja..." Evo savršene lektire za mojeg dragog poznanika, glumca.
No, još važnije od toga što nematematičaru pokazuje što je zapravo matematika, ova knjiga nastoji razbiti jednu uvriježenu predrasudu obrazovanih ljudi društvenih i humanističkih struka, da je za razumijevanje i usvajanje čak i osnovnih matematičkih znanja potrebna posebna nadarenost koja za ostale školske predmete nije potrebna. Ne, za usvajanje elementarnih matematičkih znanja nije potrebna posebna nadarenost. Naravno, da biste s lakoćom rješavali teške zadatke iz više matematike, za to treba uložiti puno truda, kao uostalom i za stjecanje mnogih drugih vještina. Ali takve matematičke vještine trebaju vam samo ako ste profesionalac. Ali niste, to vas ne oslobađa obaveze poznavanja osnovnih matematičkih koncepcija i uloge matematike u društvu. Ukratko, matematika nije samo za genijalce. Matematika ima kulturološku vrijednost i svi iole obrazovani ljudi trebali bi poznavati njezine osnove.
Ovu sam knjigu kupio čim sam ju ugledao u izlogu, a privukao me drugi dio naslova: zdravi razum.Taj je termin dosta diskutabilan i pozivanje na zdravi razum u kontekstu fizike i matematike često ljude vodi do krivih zaključaka. Anićev Rječnik hrvatskoga jezika zdrav razum definira kao: "zdravo, logično, normalno rasuđivanje". Dobro, logično rasuđivanje je alat koji nam je neophodan za matematiku. Ali, važna je i ova riječ normalno. Normalno znači uobičajeno, svojstveno većini, ono na što smo navikli na temelju svakodnevnog iskustva. I tu je kvaka. Zdrav razum proizlazi iz svakodnevnog iskustva pa je zato izvrstan vodič za sve probleme vezane sa svakodnevnim iskustvom. Međutim, sva moderna fizika, a i velik dio matematike, nadilazi svakodnevno iskustvo. Zato zdrav razum na tim teritorijima prestaje biti dobar vodič. Zato zaboravite zdravi razum pri razmatranju širenja svemira ili sužanjstva kvarkova. U matematici će vas zdrav razum voditi na krivi put čak i kod relativno jednostavnih područja kao što su vjerojatnost i statistika.
.
Kako sam postao i ostao matematičar, Sibe Mardešić, Hrvatska sveučilišna naklada, Zagreb, 2016.
Sad krećem prema sve zahtjevnijoj literaturi. Podnaslov ove knjige je Matematička autobiografija. Ako vas zanima što zapravo radi matematičar, kako živi i kako razmišlja, to je nešto što možete saznati samo od nekoga tko je živio matematiku, kome je matematika bila neodvojiva sastavnica života. Sibe Mardešić bio je hrvatski matematičar, svjetski poznat po svojim doprinosima u području topologije. Zvuči jako apstraktno? Da, jako je apstraktno. O toj matematici u školi vjerojatno niste čuli ništa. Je li to ta matematika radi matematike koja nema veze s fizičkim svijetom? A ne, to nije. Topologija je izuzetno korisna fizičarima za razumijevanje primjerice egzotičnih stanja materije. Relativno nedavno je za takva otkrića dodijeljena i Nobelova nagrada o čemu sam pisao u časopisu Kemija u industriji.
Predgovor svojoj autobiografiji profesor Mardešić počinje riječima: "Imao sam dug, sretan i sadržajan život..." Lijepo je to čuti, no čini se da tek malobrojni ljudi mogu tako nešto reći. Osobno znam samo još jednu osobu koja je to izjavila, gotovo istim riječima, Isaaca Asimova o kojem sam nedavno pisao za Ideje.hr.
Knjiga je puna zanimljivih podataka, i poučna i zabavna, zanimljiva kako laicima koje zanima što matematičari rade tako i profesionalnim matematičarima koji su akademika Mardešića poznavali ili su za njega samo čuli kao za topologa svjetskoga glasa.
.
Teorija brojeva, Andrej Dujella, Školska knjiga, Zagreb, 2019.
Za kraj sam ostavio nedavno objavljeno djelo akademika Dujelle Teorija brojeva. To opsežna monografija je zapravo sveučilišni udžbenik i nije knjiga za kojom bi laik posegnuo recimo prije spavanja. Ali je dobar primjer djela koje zainteresirani nematematičar može uzeti u ruku da dobije dojam kako izgleda matematička knjiga. Uvodi u cjeline su kratki i jasni. Većinu njih može čitati i razumjeti laik, primjerice teme kao što su Fibonaccijevi brojevi, Prosti brojevi ili Vrlo kratki uvod u kriptografiju. Za one informatički pismene, također su vrlo čitljivi algoritmi napisani kao dijelovi univerzalnog programskog koda. Taj način opisa matematičkih činjenica još nije široko prisutan u knjigama, ali je tako prirodan za današnje doba da mi se čini da ubuduće neće biti zamisliv udžbenik iz matematike ili fizike bez programskih kodova.
Za razliku od gore spomenute topologije, koja je novija grana matematike, teorija brojeva je jedna od najstarijih grana matematike. Nekad su ju zvali kraljicom matematike. Teorija brojeva se bavi proučavanjem svojstava prirodnih brojeva: djeljivošću, rastavljanjem brojeva na proste brojeve, rješivošću jednadžbi u prirodnim brojevima. Na prvi pogled izgleda jako jednostavno i odavno sve poznato. Ima li tu više posla za današnje matematičare? Itekako ima.
Prvo, postoje danas iznimno važne primjene u kriptografiji i sigurnoj razmjeni informacija. No, teorija brojeva je aktualna i u čisto teorijskom smislu. Primjerice, gotovo 350 godina matematičare je mučio problem poznat kao veliki Fermatov teorem. To je tvrdnja koja djeluje nevjerojatno jednostavno: jednadžba xn + yn = zn nema rješenja u prirodnim brojevima za n ≥ 3. Taj teorem je tek 1995. godine dokazao matematičar Andrew Wiles. Bio je to fascinantni događaj u matematici, što bi u fizici odgovaralo recimo otkriću Higgsovog bozona ili izravnoj detekciji gravitacijskih valova. Uglavnom nešto za što se Nobelova nagrada ne čeka godinama nego se dobiva po hitnom postupku. Matematičari doduše ne dobivaju Nobela nego Abela. Wiles je za svoje postignuće dobio brojne nagrade, pa i Abelovu, 2016. godine. Profesor Dujella Wilesov dokaz tek spominje u svojoj knjizi (na stranici 273.) ali ništa više od toga. Stvar je naime preopsežna i prekomplicirana čak i za sveučilišni udžbenik. Dokaz je objavljen u dva članka na ukupno 129 stranica. Wiles je na njemu radio sedam godina. Cijelu fascinantnu priču vezanu uz Fermatov teorem možete pročitati u popularizacijskim knjigama Amira Aczela Fermatov posljednji teorem (Izvori, 2001.) i Simona Singha Fermat's Last Theorem (Fourth Estate, 1998.)
Kao i mnogi sveučilišni udžbenici Teorija brojeva nastala je na temelju nastavnih materijala. Namijenjena je u prvom redu studentima matematike, ali i naprednim srednjoškolcima koji se pripremaju za matematička natjecanja te istraživačima koji se bave teorijom brojeva, algebrom i kriptografijom. Zadnja dva poglavlja posvećena su eliptičkim krivuljama, temi kojom se danas aktivno bavi nekoliko hrvatskih matematičara od kojih su neki svjetski stručnjaci u tom području.
I naravno, s obzirom da je udžbenik Teorija brojeva sadrži i mnoštvo zadataka. Matematika se, kao ni plivanje, ne uči samo čitajući knjige. Vještina se stiče vježbajući, no sad smo već previše udaljili od zadanog cilja koji je bio relativno skroman, ali važan: potaknuti pozitivan stav prema matematici.