— Published on 01/11/2021 / Bug.hr.
Kao što sila uzrokuje promjenu translacijskog gibanja tako moment sile uzrokuje promjenu rotacijskog gibanja; pripadajući zakon očuvanja daje objašnjenje vrtnje klizačice, pulsara, Zemlje, galaksije
„Fizika ne daje odgovore na pitanja zašto, nego samo na pitanja kako.” Tu sam floskulu često znao čuti kao školarac. I dosta mi je dugo trebalo da shvatim da je ta izjava, poput mnogih drugih ispraznih tvrdnji, svjetonazorski utemeljena. Naime, jedan zašto povlači drugi zašto. U nizu pitanja zašto vrlo se brzo dođe do pitanja bez odgovora. To je poznato roditeljima čija su djeca prošla fazu: „A zašto?”. Banalni religijski odgovor na zadnji zašto, na onaj zašto na kojega više ne znamo odgovoriti, je: „Bog je tako htio”. Sofisticiraniji teološki odgovor uključivat će uzroke sve do „prvog uzroka”, a taj je naravno bog.
Što se prirodnih znanosti tiče, posebno fizike, pitanja zašto nisu neprimjerena. Naprotiv, neophodna su. Zašto upućuje na uzrok. A uzročno-posljedična veza, ili kauzalnost, je temelj razumijevanja. A razumijevanje svijeta je krajnji cilj prirodnih znanosti. Pa onda ne može bez uzroka, odnosno ne može bez zašto. A to što ne znamo odgovor na svaki zašto, nije problem nego zapravo svrha znanosti. Naime, kad bismo sve odgovore znali znanosti nam ne bi ni trebalo. Znanost postoji upravo zato što ne znamo odgovore na sva pitanja. Znanost postoji upravo zato da bi te odgovore tražila. A kako ih nalazi, usputno otvara nova pitanja. Niz zašto jest beskrajan, ali postoji nada da je konvergentan.
Moment sile
Zašto se, dakle, događa rotacijska promjena gibanja? Zašto se objekt počinje okretati oko neke rotacijske osi? Uzrok takve promjene gibanja je moment sile, vektorska veličina koja ne ovisi samo o sili nego i o kraku sile te o kutu između sile i kraka sile. Krak sile je jedan vektor položaja koji se proteže od osi rotacije (okomito na os rotacije) do hvatišta sile. Kad krak sile vektorski pomnožimo sa silom dobijemo vektor koji nazivamo moment sile. Moment sile je okomit na ravninu koju tvore krak sile i sila. Po iznosu je jednak umnošku iznosa sile, iznosa kraka sile i sinusa kuta između sile i kraka sile.
Konkretno, ako je sinus kuta između sile i kraka sile nula onda je i moment sile nula. Ako je moment sile nula onda nema ni promjene rotacijskog gibanja. Ono što nije rotiralo neće ni početi rotirati. To je kao da vrata pokušate zatvoriti tako da vučete za kvaku u smjeru šarke-kvaka. Iz iskustva znamo da na taj način nećemo vrata zarotirati. Ako vučemo kao sivonja možemo ih jedino iščupati iz šarki. Najlakše ćemo rotaciju vrata promijeniti ako silom djelujemo okomito na smjer šarke-kvaka. Tada kut između sile i kraka sile iznosi 90 stupnjeva, njegov sinus je jedan pa je onda iznos momenta jednak samo umnošku kraka sile i sile. Uz neku silu, kojom možemo djelovati, najveći moment ostvarujemo ako djelujemo okomito na krak. Isto tako, uz tu danu silu, najveći moment ostvarujemo hvatište sile postavimo što dalje od osi rotacije, ako da je krak što veći. I to znate iz iskustva: viličasti ključ držite za njegov kraj, a ne u sredini, a pogotovo ne blizu matice koju pokušavate odviti.
Moment tromosti
Kao što sila daje ubrzanje, moment sile daje kutno ubrzanje. I kao što je sila bila proporcionalna ubrzanju (što je zapravo drugi Newtonov zakon) tako je i moment sile proporcionalan kutnom ubrzanju (što je onda rotacijska verzija drugog Newtonovog zakona). A sad dolazimo do nečega posve novog. Koeficijent proporcionalnosti između sile i ubrzanja jest masa, mjera za tromost tijela. Pitanje je što bi bio koeficijent proporcionalnosti između momenta sile i kutnog ubrzanja. Masa nije, ali ima veze s masom odnosno s tromošću.
Tu novu fizičku veličinu nazivamo moment tromosti. On ovisi o masi, ali i o udaljenosti te mase od osi rotacije. Onu maticu koju smo u ranijem paragrafu uspjeli odviti zato što smo viličasti ključ držali za njegov kraj i silom djelovali okomito na ključ sad možemo zavezati za uže i vitlati u vodoravnoj ravnini iznad glave (ne preuzimam odgovornost za štete nastale traljavim vezanjem čvora). Što je duljina užeta između točke držanja i matice kraća to je lakše promijeniti brzinu vrtnje. Što je ta duljina veća brzinu vrtnje je teže promijeniti, sustav se više opire promjeni stanja rotacijskog gibanja. Premda je masa matice stalno ista, nije isti polumjer vrtnje. Taj polumjer dakle ulazi u igru i to s kvadratom.
Konkretno, moment tromosti je umnožak mase i kvadrata udaljenosti od osi vrtnje do točke u kojoj je masa. Pod pretpostavkom da je sva masa u točki, što je naravno idealizacija. Ako je masa raspoređena u prostoru onda tijelo treba podijeliti na zamišljenu 3D mrežu sitnih djelića pa za svaki taj, gotovo točkasti, djelić izračunati umnožak njegove mase (dm) i njegovog kvadrata udaljenosti (r2) pa sve te doprinose zbrojiti. U graničnom slučaju ta se suma svodi na trostruki integral. No, za neke tipične oblike tijela (kugle, kocke, štapove, prstene, valjke) i za tipičan smještaj rotacijske osi netko je to integrale vrijedno izračunao i stavio rezultate u tablice da bi ih mi po potrebi samo preuzeli.
Kutna količina gibanja ili zamah
Pošto sad znamo da masi (kod translacije) po analogiji odgovara moment tromosti (kod rotacije), kao što brzini odgovara kuna brzina. Pa onda umnošku mase i brzine, što je količina gibanja ili zalet (kod translacije), odgovara umnožak momenta tromosti i kutne brzine (kod rotacije). Tu novu veličinu nazivamo kutna količina gibanja ili zamah.
Opet po analogiji, blažene te analogije, možemo očekivati da postoji zakon očuvanja kutne količine gibanja kao što postoji zakon očuvanja količine gibanja. I postoji. U zatvorenom sustavu se kutna količina gibanja, umnožak momenta tromosti i kutne brzine, ne mijenja s vremenom. Zato se klizačica na ledu koja se vrti raširenih ruku zavrti brže kad skupi ruke uz tijelo. S raširenim rukama imala je veći moment tromosti jer joj je dio mase bio udaljeniji od osi rotacije. Kako je smanjila moment tromosti, a umnožak momenta tromosti i kutne brzine mora ostati stalan, tako se kutna brzina povećala.
Na isti se način može objasniti ekstremna brzina rotacije pulsara, brzorotirajuće neutronske zvijezde, središnjeg ostatka eksplozije supernove. Pri eksploziji supernove vanjski slojevi zvijezde razlete se u okolni prostor dok središnji dio implodira u vrlo gusti zvjezdani ostatak, kompaktni kozmički objekt s bizarnim svojstvima. Kad bi se Sunce, čiji je polumjer oko 700 000 km i period rotacije oko 25 dana, sabilo u pulsar, čiji je polumjer samo 10 km, taj bi pulsar imao period rotacije od oko pola milisekunde. Objekt kojem je trebalo 25 dana da se jednom okrene oko svoje osi tada bi se okretao oko svoje osi 2000 puta u sekundi. Primjer nije akademski, takve objekte učestalo opažamo u svemiru.
Na kraju, očuvanje kutne količine gibanja pruža objašnjenje zašto su masivni objekti formirani postepenim gravitacijskim privlačenjem sitnih djelova male mase u konačnici objekti koji rotiraju. To se odnosi na zvijezde i njihove planetarne sustave te na cijele galaksije. Gravitacijsko sažimanje jednog kozmičkog sustava, koji dosta dobro zadovoljava uvjet zatvorenog sustava, uzrokuje smanjenje momenta tromosti pa posljedično povećava kutnu brzinu rotacije. Dijelovi sustava su u početku imali neke brzine i neke udaljenosti od buduće osi rotacije. Nasumičnost tih brzina, zbog nekih dinamičkih svojstava svemira, nije bila takva da bi početna kutna količina gibanja bila nula. Sažimanjem sustava ona se ne mijenja, ali kako moment tromosti pada tako kutna brzina rotacije raste. Zato se svi veliki kozmički objekti, od asteroida do skupova galaksija, vrte oko neke osi. I što su više kolabirali, to se brže vrte. Rekorderi su pulsari, sa svojom luđačkom vrtnjom. Zbog te vrtnje oni posjeduju ogromnu kinetičku energiju rotacije, a ta energija stotinama milijuna godina može pogoniti zračenje maglice, širećeg dijela ostatka eksplozije supernove. Taj primjer lijepo pokazuje kako je za razumijevanje nekih aspekata dalekih i fascinantnih pojava dovoljno poznavati osnovne pojmove iz fizike.