— Published on 26/09/2021 / Bug.hr.
Složena gibanja sastoje se od translacije (pravocrtnog gibanja) i rotacije (kružnog gibanja); svašta se u svijetu vrti: od kotača do zvijezda i galaksija; opis vrtnji nazivamo rotacijskom kinematikom
Davno prije tehnološkog doba naši su preci uočili da se razne stvari u prirodi okreću: Mjesec, Sunce i zvijezde na noćnom nebu vrte se oko Zemlje. Doduše, to tako izgleda iz naše perspektive. Sad znamo da su te vrtnje posljedica rotacije Zemlje oko vlastite osi. No u svakom slučaju, vrtnja postoji. Zaobljeni kamen ili deblo kotrljaju se niz padinu. Danas se vrte kotači, turbine, centrifugalni separatori, vrtuljci. Već se milijardama godina vrte planeti, zvijezde i galaksije. Zapravo svako složeno gibanje možemo rastaviti na translaciju i rotaciju. Bez rotacije, opis gibanja je nepotpun. A opis rotacije, stručno rečeno rotacijska kinematika, može se izvesti iz translacijske kinematike jednim zgodnim postupkom kojim se fizičari rado služe – analogijom.
Analogija translacije i rotacije
Temeljna fizička veličina uvedena za opis translacije je pomak. Pomak je vektorska veličina koja je prilično intuitivna. Ako se tijelo pomakne iz točke A u točku B onda si pomak možemo predočiti kao usmjerenu dužinu koja počinje u A i završava u B (dakle, vrh strelice je u točki B). Duljina tog vektora odgovara iznosu pomaka, a mjeri se u metrima.
Kutni pomak je malo kompliciraniji. I on je vektor, ali je njegov smjer (pravac na kojem leži) okomit ravninu rotacije. Orijentaciju tog vektora možemo odrediti pravilom desne ruke: ako prsti desne pokazuju smjer rotacije onda palac pokazuje orijentaciju vektora rotacijskog pomaka. A duljina tog vektora odgovara iznosu kuta za koji se tijelo zarotira. Konkretno, ako se tijelo pri rotaciji giba po kružnici od točke A do točke B onda dva pravca – pravac koji prolazi kroz središte rotacije i točku A te pravac koji prolazi kroz središte rotacije i točku B – zatvaraju neki kut. E taj kut je iznos kutnog pomaka. Mjerna jedinica mu je radijan što znači da kutni pomak bezdimenzijska veličina. Ako se ograničimo samo na iznose malog pomaka i malog kutnog pomaka onda je za translaciju to put, a za rotaciju kut. Rimuje se pa je lako zapamtiti: put-kut.
Kao što smo iz pomaka došli do brzine i akceleracije tako iz kutnog pomaka dolazimo do kutne brzine i kutne akceleracije. Kutna brzina je omjer promjene kutnog pomaka i promjene vremena, a kutna akceleracija omjer promjene kutne brzine i promjene vremena. Doduše, to su samo srednje vrijednosti tih veličina. Trenutačne vrijednosti se dobiju iz srednjih kad promjena vremena teži u nulu. U matematičkom smislu, to su onda derivacije. Tako je trenutačna kutna brzina derivacija po vremenu kutnog pomaka, a trenutačna kutna akceleracija derivacija po vremenu kutne brzine. Ne trebam posebno napominjati da za puno razumijevanje te priče, kao i cijele fizike općenito, treba znati matematiku.
Primjene: od getribe do tamne tvari
Prethodni paragraf djeluje jako akademski (što je mnogima ekvivalent za beskorisno ili „samo sebi svrhom”). No, bez toga nema fizike. Najprije trebamo uvesti fizičke veličine eda bismo s njima mogli graditi fizičke koncepcije koje onda imaju svoje konkretne primjene. Fizičke veličine, i njihove mjerne jedinice uvode se jako precizno. Zapravo, bolesno pedantno. Tako je to u prirodnim znanostima, za razliku od pseudoznanosti koja trkelja o istim pojmovima (energijama, frekvencijama, kvantima...) a definicije su im mutne kao kanalizaciju u New Delhiju.
Dakle, nakon što smo precizno definirali fizičke veličine rotacijske kinematike možemo slagati jednadžbe (matematičke poveznice tih veličina) kojima opisujemo razne vrtnje. A matematički opis vrtnji omogućuje nam razna predviđanja i primjene.
Evo konkretnog primjera: auto se u kružnom zavoju giba tako da unutrašnji kotači, oni koji su bliže središtu vrtnje, prolaze kraći put u istom vremenu od vanjskih kotača, onih koji su dalje od središta vrtnje. Manji put u istom vremenskom intervalu znači manji broj okretaja. Dakle, vanjski se kotači vrte brže od unutrašnjih. Kad bi osovina bila fiksna onda bi u svakom zavoju bila pod torzijskim naprezanjem pa bi prije ili kasnije pukla, a unutrašnji kotači bi u svakom zavoju klizali kao da ih kočnice blokiraju, što bi ne samo trošilo gume nego i dovodilo do nestabilnosti (jer je trenje klizanja veće od trenja kotrljanja pa bi razlika u silama trenja dala zakretni moment). Taj se problem rješava uvođenjem diferencijala, mehanizma koji omogućuje da se vanjski i unutrašnji kotači vrte različitim brzinama. Sličan uređaj omogućuje različite brzine vrtnje motora i kotača. On je u žargonu poznat kao getriba, od njemačke riječi Differentialgetriebe.
Drugi primjer konkretne primjene znanja rotacijske kinematike je astronomski: sve zvijezde, pa tako i naše Sunce, rotiraju oko središta galaksije. No za razliku od diferencijala u kojem su razni rotirajući dijelovi u dodiru jedni s drugima, zvijezde nisu u dodiru. Povezane jesu, ali bezkontaktno. Ta bezkontaktna sila koja zvijezde povezuje u cjelinu koju nazivamo galaksijom je naravno gravitacijska sila. Kao što geometrija i dodirne točke dijelova diferencijala određuju povezanost gibanja dijelova diferencijala tako i gravitacija određuje povezanost gibanja različitih zvijezda u galaksiji. Konkretno, za određenu udaljenost zvijezde od središta galaksije teorija gravitacije (a to je opća teorija relativnosti, u specijalnom slučaju Newtonova teorija gravitacije) predviđa određenu rotacijsku brzinu.
Brzine rotacije zvijezda oko središta galaksije lijepo se mogu mjeriti, kao i njihove udaljenosti od središta. Pa kad se takva mjerenja naprave za mnoštvo zvijezda i svi se ti podaci ucrtaju u graf koji nazivamo rotacijska krivulja galaksije dobije se – iznenađenje! Neslaganje opaženog i očekivanog je ogromno. I to ne samo za našu galaksiju nego za sve galaksije. Tipičnu rotacijsku krivulju galaksija već sam pokazao u tekstu Kriza tamne tvari: gdje (ni)je izlaz?. Takva je krivulja bila prvi jasni znak da svemirom dominira nešto o čemu do tada nismo ni sanjali, a što danas nazivamo tamnom materijom.
Ukratko, rotacijska kinematika nije tek akademska pikanterija koja služi za mučenje studenata na ispitu iz fizike (mada i za to dobro dođe) nego je nezaobilazan dio fizike koji je svakodnevno potreban od malih tehničkih primjena do velikih astronomskih otkrića.