— Published on 25/10/2020 / Bug.hr.
Proučavanje kinematike počinje s gibanjem točke po pravcu, dakle s jednom dimenzijom; poopćenje na dvije i tri dimenzije traži samo više matematike, a nadilaženjem treće dimenzije uvodi se nova fizika
U kinematici, čistom opisu gibanja bez ulaženja u uzroke promjena gibanja, definiramo pomak, brzinu i ubrzanje. Različite vrste gibanja opisujemo različitim matematičkim odnosima tih triju veličina. Te odnose nazivamo jednadžbama gibanja. U najjednostavnijem slučaju gibanje se odvija samo po pravcu, jednolikom ili promjenjivom brzinom, jednolikim ili promjenjivim ubrzanjem. U svakom slučaju, dimenzija je jedna pa nema potrebe za vektorima. Jednadžbe su skalarne, dakle relativno jednostavne.
.
Dvije dimenzije: projektili
Premda se i u jednoj dimenziji mogu savladati osnove kinematike, spektar dostupnih problema je dosta uzak. Možemo primjerice opisati ubrzavanje vlaka, zaustavljanje automobila pred semaforom, ili susret dva biciklista koji voze različitim brzinama i polaze s različitih točaka u različitim trenucima.
| ZA RAZMIŠLJANJE Koliki ukupni put prijeđe muha koja neprekidno leti, brzinom od 60 km/h (s obzirom na tlo), od jedne do druge lokomotive i natrag. Lokomotive se gibaju jedna prema drugoj brzinom od 40 km/h (s obzirom na tlo). U početku su lokomotive udaljenje 80 km, a muha je točno između njih, od svake udaljenja 40 km. Priča završava susretom lokomotiva, ali ne i zgnječenom muhom u sudaru. Lokomotive se gibaju po usporednim prugama, a muha leti po pravcu između dviju pruga. |
No već za opis gibanja lopte nakon šutiranja potrebne su nam dvije dimenzije. Tu vrstu problema tradicionalno nazivamo gibanjem projektila, što je očito nasljeđe iz primjena u vojne svrhe, za proračune putanja topovskih kugli, granata i metaka. Danas gibanje svakog tijela izbačenog blizu površine Zemlje nazivamo gibanjem projektila. Konkretni slučaj šutirane lopte nazivamo još i kosi hitac.
Kosi hitac je primjer gibanja u dvije dimenzije (ako zanemarimo vrtnju lopte koja može uzrokovati skretanje iz ravnine parabole) pa je jednadžba gibanja vektorska. No, u praksi umjesto jedne vektorske jednadžbe pišemo dvije skalarne. Za svaku komponentu vektora, koja odgovara dimenziji, pišemo jednu skalarnu jednadžbu. Nema nove fizike, ali matematika postaje zahtjevnija.
Dok smo još u dvije dimenzije, spomenut ću roman Edwina Abbotta Abbota Plošnozemska: pripovijest o mnogo dimenzija (STEPress, Zagreb, 2005.). Izvorno objavljen 1884. godine, opisuje zamišljeni svijet dvodimenzijskih bića koja se, između ostalog, suočavaju s problemom shvaćanja trodimenzijskog svijeta. Razmišljanje na koje nas Abbott navodi je naša eventualna percepcija svijeta s više od tri dimenzije.
.
Tri dimenzije: svemirske letjelice
Gibanje šutnute lopte ili udarene biljarske kugle zapravo se odvija našem trodimenzijskom prostoru, no putanje su u tim slučajevima unutar ravnine pa se matematički opis svodi na samo dvije dimenzije. Postoje, naravno, mnogi realni problemi gibanja čije se putanje ne mogu svesti na dvodimenzijski opis. Izračun putanje letjelice Rosetta, koja je 2014. godine spustila modul Philae na komet 67P/Churyumov-Gerasimenko, očito je zamršen trodimenzijski problem.
Vektorska jednadžba gibanja sad ima tri komponente pa se može svesti na sustav od tri skalarne jednadžbe. I dalje nema nove fizike, samo matematika postaje još zahtjevnija.
.
Četiri dimenzije: prostorvrijeme
Za razliku od fizičara koji su ograničeni na opis fizičkog svijeta, matematičari nikome ne moraju polagati račune zašto istražuju prostore s četiri, pet, deset, sto ili beskonačno dimenzija. No, puno se puta dosad pokazalo da naizgled šašava matematička apstrakcija nađe svoju primjenu u fizici.
Lijep primjer koristi od uvođenja četvrte dimenzije je prostorvrijeme u teoriji relativnosti. Priča ide ovako: Albert Einstein 1905. godine, kao činovnik patentnog ureda nepoznat u svijetu fizike, objavljuje četiri revolucionarna znanstvena rada. U prvom objašnjava Brownovo gibanje odnosno pokazuje da atomi nisu tek spekulacija, kako se do tada smatralo, nego stvarnost. U drugom radu objašnjava fotoelektrični učinak, za što će kasnije dobiti Nobelovu nagradu za fiziku. U trećem iznosi specijalnu teoriju relativnosti, a u četvrtom dodaje još jednu posljedicu specijalne teorije relativnosti koja će postati najpoznatija formula u fizici, E = mc2. Matematika kojom je Einstein opisao osnovne ideje teorije relativnosti prilično je jednostavna. Nešto kasnije, 1908. godine, na relativističku scenu stupa matematičar Hermann Minkowski, nekadašnji Einsteinov profesor koji je za svojeg učenika bio izjavio da je "lijeno pseto" kojega "nije ni najmanje briga za matematiku". Minkowski predlaže geometrijsku interpreatciju specijalne teorije relativnosti u kojoj trodimenzijski euklidski prostor proširuje s četvrtom dimenzijom, vremenom. Time je stvorio moćni alat koji je olakšao analizu relativističkih problema i proširenje na opču teoriju. Treba reći da prostorvrijeme Minkowskog ne znači da je vrijeme četvrta dimenzija prostora. Nije. Konstrukt prostorvremena je jedna matematička apstrakcija koja koristan alat za predočavanje i računanje problema iz područja specijalne teorije relativnosti. To je apstraktni 4D-prostor. I nema nikakve potrebe mistificiranjem vremena kao navodno stvarne četvrte dimenzije.
.
Deset dimenzija: hiperprostor
Dakle, dimenzije fizičkog prostora u kojem živimo su tri. Barem na ovoj razini koju opažamo. No, to ne sprječava teorijske fizičare da predlažu matematičke modele fizičke stvarnosti s više od tri prostorne dimenzije. I to ne četiri nego – nije beg cicija – deset dimenzija. No, kao što sam upozorio za koncepciju prostorvremena (da vrijeme nije četvrta prostorna dimenzija fizičkog prostora nego samo četvrta dimenzija apstraktnog prostora Minkowskog) tako i za matematičke modele s deset dimenzija najprije moram reći: to su prijedlozi koji zasad još nemaju eksperimentalne potvrde. Oni su tek zgodna matematika koja pruža velika obećanja. Možda se jednog dana potvrde, a možda i ne. To još ne znamo. Svejedno, itekako ima smisla razvijati takve modele i razmišljati o mogućnosti postojanja viših dimenzija. Izvrsna knjiga, meni osobno najdraža, koju je na tu temu napisao Michio Kaku, vrlo čitljiva i inspirativna, je Hiperprostor: znanstvena odijseja kroz usporedne svemire, vremenska izobličenja i desetu dimenziju (Algoritam, Zagreb, 2006.). Preporučujem.