— Published on 22/03/2026 / Bug.hr.
Za razumijevanje vidljive svjetlosti u nekim praktičnim situacijama, primjerice kod refleksije na zrcalu, dovoljan nam je pojednostavljeni model u kojem koristimo idealizirani pojam svjetlosne zrake
Kad smo svjetlost opisali kao elektromagnetski val, opisali smo fizičku stvarnost svjetlosti. Za matematički opis te stvarnosti koriste se Maxwellove jednadžbe, sustav od četiri vezane parcijalne diferencijalne jednadžbe s dvije vektorske funkcije s po četiri varijable. Uz tako općenit opis možete opisati baš sve pojave iz elektriciteta, magnetizma i optike. No ima praktičnih situacija u kojima je takav puni opis nepotrebno kompliciran, situacija u kojima možemo koristiti jednostavne modele. Geometrijska optika upravo je takav pojednostavljeni opis. Usput, to nije slučaj bez presedana. To je u fizici uobičajeno. Kad možemo aproksimirati, bez posljedica na traženu točnost opisa, aproksimiramo. Fizika je umijeće aproksimacija (moja omiljena fraza).
Svjetlosne zrake
Pojam svjetlosne zrake uvodi se već u osnovnoj školi, bez puno tumačenja što bi to zapravo bilo, i mnogi sretno prožive ostatak života u uvjerenju da su svjetlosne zrake nekakvi stvarni objekti, neke svijetleće crtice koje izlaze iz Sunca ili žarulje. Ali svjetlosna zraka nije nikakav fizički objekt, nego idealizirani pojam iz geometrijske optike, zamišljeni pravac koji pokazuje smjer širenja svjetlosti. Dakle, izmišljotina, ali korisna izmišljotina. Sasvim fino funkcionira.
Postoji, naravno, objašnjenje zašto ti zamišljeni pravci dobro funkcioniraju pri opisu refleksije svjetlosti i daju dobra predviđanja kakvu će sliku dati koje zrcalo. Objašnjenje kreće od fizičke stvarnosti, dakle od elektromagnetskih valova. Krenemo od sitnog izvora svjetlosti, kojeg fizičari vole zvati točkasti izvor, koji emitira jednako u svim smjerovima poput Sunca (stručni naziv za takvo svojstvo je izotropnost). Val se giba stalnom brzinom v i za neko vrijeme t prijeđe put r, koji odgovara umnošku od v i t. Taj r je polumjer zamišljene kugle pa sfernu plohu te kugle nazivamo valna fronta. Kako vrijeme prolazi sferna ploha je sve veća i veća, a jedan isječak iz te sferne plohe je sve ravniji. Konačno, taj isječak postaje gotovo ravna ploha. Kad povučemo okomicu na tu plohu dobijemo svjetlosnu zraku. Dakle, svjetlosne zrake su zamišljene ravne linije, a ako ih ne izvlačimo iz šešira bez objašnjenja nego ih želimo povezati s ranije uvedenim elektromagnetskim valovima onda priča ide preko valnih fronti.
Kad elektromagnetski val putuje kroz prazan ravni prostor, on putuje pravocrtno. Zato su svjetlosne zrake, koje smo uveli kao zamišljeno pomagalo u geometrijskoj optici, pravci. Kako je geometrijska optika puno starija od Maxwellovih jednadžbi jasno je da prvi pojam svjetlosne zrake nije izveden iz elektromagnetskog vala preko valnih fronti nego je uveden empirijski, iz iskustva. Svjetlosne zrake spominje već arapski učenjak Alhazen, oko 1000. godine (usput, Alhazen je predlagao osnovne korake onoga što danas nazivamo znanstvenom metodom sedam stoljeća prije nego što je ta metoda uvedena u Europi), a u današnjem smislu se koriste od 17. stoljeća. Zato su bile formalizirane kroz zakon poznat kao prvi zakon geometrijske optike koji se još naziva i zakon pravocrtnog širenja svjetlosti i kojim se tvrdi: svjetlosne zrake su pravci.
Kao što jedna ptica ne čini jato, ni jedna svjetlosna zraka ne formira sliku. Za nastanak slike potrebno je mnoštvo zraka. Ako su sve te zrake usporedne onda za sve njih skupa koristimo pojam snopa. Kad dva snopa usmjerimo jedan kroz drugi, recimo svjetlost iz dviju baterijskih lampi prekrižimo, ne događa se ništa, snopovi prolaze jedan kroz drugoga, ignoriraju se. To je iskustvo opisano kao drugi zakon geometrijske optike s uobičajenim nazivom zakon neovisnosti širenja svjetlosnih snopova. Usput, to je tako u geometrijskoj optici. U stvarnosti, pod određenim uvjetima svjetlost može međudjelovati sa svjetlošću, no to je već područje kvantne fizike i nešto što je važno primjerice u gama-astronomiji vrlo visokih energija kad se visokoenergijsko gama-zračenje prigušuje na pozadinskoj vidljivoj svjetlosti onako kako se vidljiva svjetlost prigušuje prolaskom kroz maglu.
Zrcala
U dosadašnjoj priči su te naše svjetlosne zrake samo putovale po pravcu, bez ikakve zapreke. U stvarnosti svjetlost na svojem putu kad-tad nailazi na prepreke pa se tada ili apsorbira ili reflektira. Kad se svjetlost apsorbira to znači da materija preuzme od svjetlosti energiju i količinu gibanja, a sama svjetlost nestane, nema je više. Kod refleksije ili odbijanja svjetlost preživi, ali promijeni smjer što znači da se nastavi gibati po novom pravcu. Što se točno događa u točki odbijanja to nije predmet geometrijske optike. To znamo opisati u elektrodinamici Maxwellovim jednadžbama, ali geometrijsku optiku to ne zanima. Ona opet postavlja empirijski zakon. To je treći zakon geometrijske optike ili zakon odbijanja svjetlosti. On glasi: kut upada jednak je kutu odbijanja. Po dogovoru, kut mjerimo u odnosu na normalu. Ako je ploha od koje se svjetlost odbija ravna onda normala znači okomicu na plohu.
Dakle, ako se svjetlost pri susretu s materijom ne apsorbira nego se reflektira onda se ta refleksija ili odbijanje odvija po trećem zakonu geometrijske optike. Uvijek. E sad se postavlja pitanje zašto se recimo zid i zrcalo ponašaju drukčije. U zrcalu se vidimo, a u zidu ne. U oba se slučaja događa refleksija svjetlosti. Razlika je u sljedećem. Zrcalo je ravno na puno manjoj skali. Neravnine na zidu vidljive su golim okom, mala brda i doline. I zrcalo ima takve neravnine, ali na mikroskopskoj skali koja je manja od valne duljine svjetlosti. Zato se na zrcalu sve zrake reflektiraju na isti način i tada je moguć nastanak slike. Na zidu se gotovo svaka zraka reflektira na svoj način. I tu vrijedi treći zakon, ali su normale u različitim točkama različito usmjerene. Takvu refleksiju nazivamo difuznom.
Tri zakona geometrijske optike uz malo matematike, geometrije naravno, omogućuju da predvidimo kako zrcala stvaraju sliku. Najjednostavnije zrcalo je ravno zrcalo, ono koje sigurno imate doma, u kupaonici ili u hodniku. Slika koju takvo zrcalo daje iste je veličine kao i predmet, uspravna je (nije obrnuta), isto je udaljena od zrcala kao i predmet, samo je s druge strane. Zato kažemo da nije realna nego je virtualna. Prilično jednostavno i dosadno. Jedina zanimljivost vezana uz ravno zrcalo navodno je preokretanje lijevo-desno. Kažem navodno zato što ravno zrcalo zapravo preokreće naprijed-nazad. To je matematička operacija zrcaljenja. Kod koordinatne osi koju postavimo okomito na zrcalo, recimo da je to x-os, transformacija je x u –x. Kod osi koje su usporedne s ravninom zrcala nema transformacije koordinata. Učinak zrcaljenja je da nam naša slika u zrcalu izgleda lijevo-desno preokrenuta zato što ju interpretiramo kao osobu koja je okrenuta prema nama. Zapravo je slika desne ruke ispred desne ruke, a slika lijeve ruke ispred lijeve ruke. Da je stvar u promjeni naprijed-natrag, možete se uvjeriti tako da na proziran papir napišete neka slova pa ih onda pogledate kroz papir kroz onu stranu na kojoj niste pisali. To je promjena smjera gledanja za 180 stupnjeva. Vidjet ćete ono isto što biste vidjeli da ta slova, koja su recimo napisana na vašoj majici, gledate u zrcalu. Iz tog su razloga slova hitne pomoći obično napisana na zrcaljen način pa ih pogledom kroz retrovizor, uz još jedno zrcaljenje, vidimo na uobičajeni način i brže prepoznamo.
Nešto kompliciranija su zrcala koja nisu ravna nego pravilno ili nepravilno zakrivljena. Od pravilno zakrivljenih najčešća su sferna zrcala kojima je ploha sferna ili kuglasta. Za takvu zakrivljenost je relativno jednostavno primijeniti zakone geometrijske optike uz malo matematike, sličnosti trokuta, pa izvesti jednadžbu zrcala: zbroj recipročnih vrijednosti predmetne i slikovne udaljenosti jednak je recipročnoj vrijednosti žarišne daljine. Ta žarišna daljina odgovara udaljenosti žarišta od zrcala, a žarište je zanimljiva točka kroz koju, nakon refleksije, prolaze sve zrake koje su na zrcalo došle usporedno s optičkom osi (a ta os je pak pravac koji ide kroz tjeme zrcala i kroz žarište).
Sferna zrcala, koja mogu biti udubljena i izbočena, imaju veći spektar mogućnosti stvaranja zanimljivih slika. Te slike mogu biti uvećane ili umanjene, realne ili virtualne, uspravne ili obrnute, ovisno o položaju predmeta u odnosu na žarište zrcala. Premda je jednadžba sfernog zrcala vrlo jednostavna, učenici pa i studenti znaju sa zadacima vezanim uz sferna zrcala imati problema zato što sve tri veličine koje ulaze u jednadžbu – predmetna udaljenost, slikovna udaljenost i žarišna udaljenost - mogu biti ili pozitivne ili negativne, ovisi o situaciji. Postoje, naravno, jasna pravila. Problem je što nam nastanak slike u sfernom zrcalu nije intuitivan, no takva intuicija se može razviti kroz igru s interaktivnim aplikacijama dostupnim online, primjerice u raznim varijantama na GeoGebri.